Coronation Cup

The Coronation Cup is a Group 1 flat horse race in Great Britain open to horses aged four years or older. It is run at Epsom Downs over a distance of 1 mile, 4 furlongs and 10 yards (2,423 metres), and it is scheduled to take place each year in June.

The event was established in 1902 to commemorate the coronation of a new British monarch, King Edward VII. Epsom had staged a similar race, the Epsom Gold Cup, which was open to horses aged three or older. The Coronation Cup was temporarily switched to alternative venues during wartime periods, with runnings at Newmarket (1915–16, 1943–45) and Newbury (1941) soccer referee uniforms.

The race is contested on the second day of Epsom’s two-day Derby Festival meeting how to remove lint balls from couch, the same day as the Derby itself blank football jerseys. Its distance is the same as that of both the Derby and the Oaks, and it often features horses which competed in those events in the preceding seasons.

Most successful horse (3 wins):

Leading jockey (9 wins):

Leading trainer (7 wins):

Leading owner (7 wins): (includes part ownership)

* The 1937 race was a dead-heat and has joint winners.

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Bernard Eisenschitz

Bernard Eisenschitz (born 3 July 1944 in Saint-Calais, France) is a widely published French film critic, subtitler and historian electric fabric. He has also directed, produced and restored films.

Eisenschitz modelled himself on the film historian Georges Sadoul, the definitive edition of whose masterwork, the Histoire générale du cinéma, he edited. Eisenschitz is an internationally known expert on Fritz Lang and Nicholas Ray, as well as Chris Marker and Robert Kramer. He has worked and published on Friedrich Wilhelm Murnau, Ernst Lubitsch, German cinema and the history of the Cinémathèque française, among other topics.

Eisenschitz wrote for Cahiers du cinéma between about 1967 and 1972, and for La nouvelle critique from 1970 to 1977. In 2001, he founded the periodical Cinéma. In the same year, he completed the definitive restoration of Jean Vigo’s film L’Atalante and made a documentary on the film’s different restorations entitled Les Voyages de L’Atalante.

He has on occasion appeared as an actor in films for director-friends of his, for example in Jacques Rivette’s Out 1, La Maman et la Putain by Jean Eustache, Le Prestige de la mort by Luc Moullet, and in films by Otar Iosseliani Paul Frank T-shirts Kids, Wim Wenders et Amos Gitaï. He is a regular speaker at film screenings and festivals including the archival festival Il Cinema Ritrovato in Bologna.

The film critic Jacques Mandelbaum has said of Eisenschitz that “Traducteur how to tenderise steak, historien du cinéma, programmateur, réalisateur et acteur à l’occasion, Eisenschitz est l’une de ces figures secrètes de la cinéphilie dont l’érudition et la finesse de touche se rendent toujours disponibles à qui les sollicite” [Translator, film historian, programmer clothes shaver reviews, director and occasional actor, Eisenschitz is one of those secret cinephiliac figures whose erudition and subtlety are always at the disposal of those who ask].

↑ « Fritz Lang était un des héros de ma famille, originaire, comme lui, d’Autriche et d’Allemagne. » Eisenschitz sur leMonde.fr↑ Willy et Bernard Eisenschitz↑ Bernard Eisenschitz sur Le Monde

Fédération régionaliste française

La Fédération régionaliste française est une fédération visant à regrouper les différents mouvements régionalistes français, créée en mars 1900 par Jean Charles-Brun sous le nom de Groupe régionaliste vintage meat tenderizer. Elle succède à la Ligue occitane (1897-1900), sur le modèle de l’Union régionaliste bretonne créée en 1898, et devient la Fédération régionaliste française l’année de sa création. Un circulaire est diffusée en 1901 pour la tenue de son premier congrès. Les revendications de la Fédération régionaliste française incluent entre autres la division de la France en régions homogènes avec des centres régionaux plain football socks, la liberté des initiatives communales et régionales et l’appropriation de l’enseignement aux besoins régionaux et locaux.

Louis-Xavier de Ricard préside la fédération thermos hydration bottle replacement lid, Jean Charles-Brun en étant le secrétaire général, puis délégué général, une charge qu’il assume jusqu’à sa mort le 14 octobre 1946 water sports bottle, en communiquant énormément. La Fédération a sa propre feuille d’information dès 1901, la Correspondance Régionaliste, qui devient en 1902 l’Action régionaliste, jusqu’en 1968.

Голяма-Долина

Болгария

Хасковская

Маджарово

41°42′00″ с. ш. 25°52′00″ в. д.

223 м

6 человек (2010)

UTC+2, летом UTC+3

(+359) 37422

6476

Х

15698

Голяма-Долина (болг. Голяма долина) — село в Болгарии how to tenderise meat. Находится в Хасковской области, входит в общину Маджарово. Население составляет 6 человек.

Голяма-Долина подчиняется непосредственно общине и не имеет своего кмета

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Кмет (мэр) общины Маджарово — Милко Петков Армутлиев (Земледельческий народный союз (ЗНС)) по результатам выборов.

 Бориславци | Габерово | Голяма-Долина | Горни-Главанак | Горно-Поле | Долни-Главанак | Долно-Сыдиево | Ефрем | Златоустово | Маджарово | Малки-Воден | Малко-Брягово | Малко-Попово | Румелия | Рыженово | Селска-Поляна | Сеноклас | Тополово

Peter A. Allard School of Law

The Peter A. Allard School of Law is the law school of the University of British Columbia. It offers a three-year Juris Doctor (JD) program and the graduate degrees of Master of Laws (LLM), Master of Laws Common Law (LLMCL) and doctorate (PhD) degrees. Among other things, the faculty has courses emphasizing Pacific Rim issues, business law, tax law, environmental and natural resource law, indigenous law, and feminist law. It was renamed from the University of British Columbia Faculty of Law in 2015 to honor a $30M gift from Peter Allard, an alumnus, which followed a 2011 gift from him of about $12M.

UBC offered lectures in law from 1920, but the university’s faculty of law was established in 1945, and was served by George F. Curtis (1906-2005) as the founding dean until he retired in 1971. Because it lacked adequate infrastructure, the law school used army huts from World War II until a permanent structure was built in 1951, which was named after Curtis. It was replaced by Allard Hall in 2009. In recognition of a donation from UBC law alumnus Peter A. Allard, the law school was renamed the Peter A. Allard School of Law on January 22, 2015; it had been known as the “University of British Columbia Faculty of Law”.

The school was ranked 3rd in Canada and 31st in the world in the 2016 QS World University Rankings of law schools. It was fifth among Canadian law schools in Maclean’s 2013 rankings.

The school is located at the University of British Columbia’s campus near Vancouver, British Columbia. In 2011 it moved out of its former building, a brutalist-style building with malfunctioning heating and cooling and into a new building that had recently been completed. The building cost around $56M; the university used $21M of its own funds and the rest came from donations, including $12M from The Law Foundation of B.C. In 2011 shortly before students and faculty began moving in, Peter Allard, an alumnus, donated about $12 million to the school, with about $10M of it going to complete the capital campaign; the building was named after him.

The Allard Prize was established in 2012 and was initially funded by part of the 2011 gift from Allard and further funded by a subsequent $30M donation by Allard in 2015.

The first prize was awarded in 2013, and it is given biennially to an individual, movement or organization that has “demonstrated exceptional courage and leadership in combating corruption, especially through promoting transparency, accountability and the Rule of Law” stainless drink bottle. It is one of the world’s largest prizes dedicated to the fight against corruption and protecting human rights.

The winner receives CAD$100,000 and an Allard Prize award which is an original work of art; Honourable Mention recipients receive an Allard Prize award and may be awarded a cash amount at the discretion of the Allard Prize Committee.

Many Allard Prize nominees and recipients have been, and continue to be, subjected to threats, violence, imprisonment and other attacks associated with their anti-corruption and human rights activities. One Honourable Mention recipient (Sergei Magnitsky) was nominated posthumously after being tortured and dying in a Russian prison best metal water bottle.

The University of British Columbia Law Review is the school’s official law review and is published by the UBC Law Review Society. Similar to the Harvard Law Review, the editorial process and business of the Society is run by Juris Doctor students, while manuscripts submitted to the journal are peer-reviewed by professors with specialized knowledge of the subject matter. It was first published in 1949 as a collection of legal essays entitled the UBC Legal Notes. In 1959, it officially became the UBC Law Review. It was incorporated as a non-profit society in 1966. The UBC Law Review is a top ranking scholarly publication in Canada and globally, alongside the University of Toronto Law Journal and McGill Law Journal.

First published in 1955 as a section of the UBC Law Review, the Table of Statutory Limitations has since matured into an annual compendium of legal limitation periods of various statutes. The TSL is published by students at the school.

The only Canadian peer-reviewed journal dedicated to insolvency and bankruptcy law. This annual publication offers articles by scholars and practitioners on personal and commercial insolvency law.

First published in 1978, the Canadian Journal of Family Law is Canada’s first family law journal. The journal is a biannual interdisciplinary journal that publishes both English and French academic articles on a broad range of issues related to family law. The journal is peer reviewed by an advisory board consisting of legal professionals and academics. It is produced by an editorial staff of students at the school.

An interdisciplinary peer-reviewed journal based at the school. The journal focuses on the intersections of Law and theatre.

The UBC International Law Journal is an online open access academic journal published by students at the school. The journal was initially created through the UBC International Law Society. The journal publishes exclusively student work, reviewed by students. The first issue was published in November 2008.

The Legal Eye is a newspaper published monthly by students at the school. Started in September 2003, the Legal Eye serves as a forum for reporting on news about the Faculty, broader legal community, case commentary, the occasional recipe, book/restaurant/film reviews great water bottles, event reviews, and for recognizing student activities and achievements.

Coordinates:

Nikolas Maes

Nikolas Maes (født 9. april 1986 i Kortrijk) er en profesjonell belgisk landeveissyklist cheap youth football uniforms. Han sykler for UCI WorldTourlaget Lotto Soudal how to soften beef meat.

Armée • Bak • Benoot • Boeckmans • De Bie • Debusschere • De Buyst • De Clercq • De Gendt • Frison • Gallopin • Greipel • Hansen • Hofland • Maes • Marczyński • Mertz • Monfort • Roelandts • Shaw • Sieberg • Valls • Van der Sande • Vanendert • Vervaeke • Wallays • Wellens • Wouters

Musslingar

Musslingar är en benämning på en grupp svampar dit flera ved- eller trädlevande arter med mussel- eller tunglika fruktkroppar ur olika släkten räknas signed goalkeeper gloves. Namnet används även specifikt för familjen Pleurotaceae. Musslingar växer ofta tuvade, det vill säga fruktkropparna uppträder tätt och många tillsammans på ett sådant sätt att de kan sägas bilda tuvor. En del musslingar har en kort fot jumper defuzzer, mellan två och åtta centimeter hög, andra har ingen fot alls. Kännetecknande för musslingar är även att de har skivor som är nedlöpande eller som utstrålar radiärt från basen. Färgen på sporpulvret kan vara vit, rosaaktigt eller brunaktigt running belts for gels. Till de musslingar som har vitt sporpulver hör arter som finns i släkten som Lentinus, Pleurotus, Panellus, Pleurocybella och Hohenbuehelia. Musslingar som hör till släktena Phyllotopis och Rhodotus har rosaaktigt sporpulver och släktet Crepidotus har brunaktigt sporpulver. De flesta musslingar går inte att äta, och bara några få arter är av intresse som matsvampar pink football socks, exempelvis ostronmussling och öronmussling.

Alicia de Larrocha

Alicia de Larrocha, Palau de la Musica Catalana (1985)

Alicia de Larrocha de la Calle est une pianiste espagnole, née le à Barcelone où elle est morte le à l’âge de 86 ans.

Sa mère et sa tante avaient été les élèves de Granados. Alicia commence l’étude du piano à l’âge de trois ans et prend ses premiers cours à quatre avec Franck Marshall à l’Académie Marshall. Elle étudie en parallèle la théorie musicale avec Riccardo Lamote de Grignon. Le répertoire espagnol la fascine bien vite, mais son professeur l’oblige à passer d’abord par les « classiques » – Bach, Mozart, Chopin, Schumann, et Liszt reusable 1 liter water bottle. Elle se produit pour la première fois en solo à six ans, et, à onze, elle joue le Concerto de Mozart K 537 dit du « Couronnement » avec l’orchestre symphonique de Madrid. En 1940, elle commence à effectuer des tournées, d’abord dans son pays natal, puis en Amérique latine. Mais sa carrière ne commence vraiment qu’en 1947, date à laquelle elle entame une tournée internationale, qui la mène en Europe, notamment en Angleterre (débuts londoniens en 1953), puis aux États-Unis et en Afrique du Sud: en 1955, elle joue avec l’orchestre philharmonique de Los Angeles. Dès lors, elle assoit vite sa notoriété dans le milieu musical international, et fréquente assidûment les studios d’enregistrements, et avec succès, puisqu’elle obtient durant sa carrière onze Grammies récompensant ses meilleurs disques.

Sa carrière est émaillée de rencontres artistiques de la plus haute importance, notamment avec Francis Poulenc, dont elle joue le Concerto pour deux pianos en duo avec le compositeur. Sa longue amitié avec le compositeur Federico Mompou, qui lui dédie plusieurs pièces, est aussi très significative.

Alicia de Larrocha était de petite taille, de même que l’étaient ses mains. Malgré cette particularité elle vient à bout des pièces les plus difficiles techniquement, grâce à une assise très haute au piano, et à des exercices spécifiques qui lui ont permis d’adapter son jeu à sa morphologie. Rares sont en effet les pianistes de haut niveau qui, comme Alicia de Larrocha, ne parviennent qu’avec difficulté à plaquer sur le clavier un accord de dixième, c’est-à-dire du do au mi de l’octave suivante. Ceci n’a pas empêché la pianiste de se spécialiser dans la musique espagnole qui contient des pièces ardues, à l’exemple de El Pelele de Granados, qu’elle exécute avec brio. Elle a dû toutefois se résigner à ne plus jouer Rachmaninov qui exige des mains plus grandes que les siennes.

Le répertoire d’Alicia de Larrocha compte beaucoup de compositeurs espagnols, dont Albéniz, Granados, Mompou, et Soler. Cependant, elle a aussi enregistré d’autres compositeurs comme Bach, Haendel, Haydn, Khatchatourian, Mozart et Scarlatti.

Alicia de Larrocha a remporté de nombreux prix tout au long de sa carrière, dont la Médaille d’or du mérite des beaux-arts par le Ministère de l’Éducation

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, de la Culture et des Sports en 1982 et le Prix Prince des Asturies en 1994 where to buy glass water bottles. En 1995, Alicia de Larrocha est la première artiste espagnole à obtenir le Prix de la Musique de l’UNESCO. La Fondation Jacinto Guerrero de Madrid lui a décerné son Prix en 1999.

Alicia de Larocha est décédée le dans un hôpital de Barcelone. Sa santé n’avait cessé de décliner depuis 2007, à la suite d’une fracture de la hanche.

Darstellungstheorie (Gruppentheorie)

Die hier beschriebene Darstellungstheorie ist ein Teilgebiet der Mathematik, das auf der Gruppentheorie aufbaut und ein Spezialfall der eigentlichen Darstellungstheorie ist reusable water bottle brands, die sich mit Darstellungen von Algebren beschäftigt.

Die Grundidee ist, die Elemente einer Gruppe durch Transformationen bestimmter mathematischer Objekte darzustellen.

Eine Darstellung





ρ





{\displaystyle \rho }


einer Gruppe





G




{\displaystyle G}


, auch Gruppendarstellung, ist ein Homomorphismus von





G




{\displaystyle G}


in die Automorphismengruppe





Aut






(


W


)




{\displaystyle \operatorname {Aut} (W)}






W




{\displaystyle W}


. Die Gruppenverknüpfung in





G




{\displaystyle G}


entspricht dem Hintereinanderausführen von Automorphismen in





W




{\displaystyle W}


:

Eine lineare Darstellung ist eine Darstellung durch Automorphismen eines Vektorraums





V




{\displaystyle V}


. Eine lineare Darstellung ist somit ein Homomorphismus von





G




{\displaystyle G}


in die allgemeine lineare Gruppe





GL






(


V


)




{\displaystyle \operatorname {GL} (V)}


. Wenn





V




{\displaystyle V}


ein





n




{\displaystyle n}


-dimensionaler Vektorraum über einem Körper





K




{\displaystyle K}


ist, dann besteht die Darstellung dementsprechend aus invertierbaren





n


×



n




{\displaystyle n\times n}


-Matrizen mit Koeffizienten aus





K




{\displaystyle K}


. Die Vektorraumdimension





n




{\displaystyle n}


heißt Grad der Darstellung.

Oft wird der Begriff „Darstellung“ im engeren Sinn von lineare Darstellung verwendet; eine Darstellung durch beliebige Automorphismen heißt dann Realisierung.

Lineare Darstellungen ermöglichen es, Eigenschaften einer Gruppe mit den Mitteln der linearen Algebra zu untersuchen. Das ist nützlich, weil die Lineare Algebra, im Gegensatz zur Gruppentheorie, ein kleines, abgeschlossenes und bestens verstandenes Gebiet ist.

Darstellungen endlicher Gruppen ermöglichen es in der Molekülphysik und Kristallographie, die Auswirkungen vorhandener Symmetrien auf messbare Eigenschaften eines Materials mit Hilfe eines rezeptmäßigen Kalküls zu bestimmen.

→ Formal und auch nach der Bezeichnung gehört die Permutationsdarstellung zu den hier definierten Darstellungen einer Gruppe: Hier ist die Struktur





W




{\displaystyle W}


eine endliche Menge, deren Automorphismengruppe also die Menge ihrer bijektiven Selbstabbildungen. Damit ist der Homomorphismus eine Gruppenoperation, auch die linearen Darstellungen sind spezielle Gruppenoperationen. Siehe zu Permutationsdarstellungen, die trotz des formalen Zusammenhangs keine Untersuchungsgegenstände der Darstellungstheorie sind, den Artikel Permutationsgruppe.

Sei





V




{\displaystyle V}


ein





K




{\displaystyle K}


-Vektorraum, und





G




{\displaystyle G}


eine endliche Gruppe. Eine lineare Darstellung einer endlichen Gruppe





G




{\displaystyle G}


ist ein Gruppenhomomorphismus





ρ



:



G







GL



(


V


)


=



Aut



(


V


)


,




{\displaystyle \rho \colon G\to {\text{GL}}(V)={\text{Aut}}(V),}


d. h., es gilt





ρ



(


s


t


)


=


ρ



(


s


)


ρ



(


t


)




{\displaystyle \rho (st)=\rho (s)\rho (t)}


für alle





s


,


t






G


.




{\displaystyle s,t\in G.}


Man nennt





V




{\displaystyle V}


den Darstellungsraum von





G


.




{\displaystyle G.}


Oft wird die Bezeichnung „Darstellung von





G




{\displaystyle G}


“ auch für den Darstellungsraum





V




{\displaystyle V}


verwendet.
Man verwendet den Begriff lineare Darstellung auch für Darstellungen einer Gruppe in Moduln statt Vektorräumen.
Wir schreiben





(


ρ



,



V



ρ





)




{\displaystyle (\rho ,V_{\rho })}


für die Darstellung





ρ



:



G







GL



(



V



ρ





)




{\displaystyle \rho \colon G\to {\text{GL}}(V_{\rho })}


von





G




{\displaystyle G}


oder auch nur





(


ρ



,


V


)


,




{\displaystyle (\rho ,V),}


falls klar ist, zu welcher Darstellung der Raum





V




{\displaystyle V}


gehören soll.

In vielen Zusammenhängen beschränkt man sich auf den Fall






dim



(


V


)


<






.




{\displaystyle {\text{dim}}(V)<\infty .}


Da man sich in den meisten Fällen nur für eine endliche Anzahl an Vektoren aus





V




{\displaystyle V}


interessiert, kann man sich auf eine Teildarstellung beschränken, deren Darstellungsraum endliche Dimension hat. Der Grad einer Darstellung ist die Dimension






dim



(


V


)


=


n




{\displaystyle {\text{dim}}(V)=n}


des Darstellungsraumes





V


.




{\displaystyle V.}


Oft wird auch






dim



(


ρ



)




{\displaystyle {\text{dim}}(\rho )}


für den Grad der Darstellung





ρ





{\displaystyle \rho }


verwendet.

Ein sehr einfaches Beispiel ist die sogenannte Einsdarstellung oder triviale Darstellung, die gegeben ist durch





ρ



(


s


)


=



Id





{\displaystyle \rho (s)={\text{Id}}}


für alle





s






G


.




{\displaystyle s\in G.}



Eine Darstellung vom Grad





1




{\displaystyle 1}


einer Gruppe





G




{\displaystyle G}


ist ein Homomorphismus





ρ



:



G







GL



(



C



)


=




C




×







{\displaystyle \rho \colon G\to {\text{GL}}(\mathbb {C} )=\mathbb {C} ^{\times }}


in die multiplikative Gruppe von






C



.




{\displaystyle \mathbb {C} .}


Da jedes Element aus





G




{\displaystyle G}


endliche Ordnung hat, sind die Werte





ρ



(


s


)




{\displaystyle \rho (s)}


Einheitswurzeln.

Weitere nichttriviale Beispiele:
Sei





ρ



:



G


=



Z




/



4



Z









C




×







{\displaystyle \rho \colon G=\mathbb {Z} /4\mathbb {Z} \to \mathbb {C} ^{\times }}


eine lineare Darstellung, die nicht trivial ist. Dann ist





ρ





{\displaystyle \rho }


durch ihr Bild auf







1


¯










Z




/



4



Z





{\displaystyle {\overline {1}}\in \mathbb {Z} /4\mathbb {Z} }


festgelegt und ist damit eine der drei folgenden Abbildungen:

Die Bildmenge ist also eine nichttriviale Untergruppe der Gruppe, die aus den vierten Einheitswurzeln besteht.

Sei





G


=



Z




/



2



Z



×




Z




/



2



Z





{\displaystyle G=\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }


und sei





ρ



:



G








GL




2




(



C



)




{\displaystyle \rho \colon G\to {\text{GL}}_{2}(\mathbb {C} )}


der Gruppenhomomorphismus, definiert durch:

Dann ist





ρ





{\displaystyle \rho }


eine lineare Darstellung von





G




{\displaystyle G}


vom Grad





2




{\displaystyle 2}


.

Sei





G




{\displaystyle G}


die zyklische Gruppe






C



3






{\displaystyle C_{3}}


, also die Menge





{


0


,


1


,


2


}




{\displaystyle \{0,1,2\}}


mit der Addition modulo





3




{\displaystyle 3}


als Gruppenverknüpfung.

Die Abbildung





τ



:



G







C





{\displaystyle \tau \colon G\to \mathbb {C} }


, die den Gruppenelementen





g




{\displaystyle g}


Potenzen





τ



(


g


)


=



u



g






{\displaystyle \tau (g)=u^{g}}


der komplexen Zahl





u


=



e





2


π



i



3







{\displaystyle u=e^{\frac {2\pi i}{3}}}


zuordnet, ist eine treue lineare Darstellung vom Grad





1




{\displaystyle 1}


. Der Gruppeneigenschaft






g



3




=


e




{\displaystyle g^{3}=e}


entspricht die Eigenschaft






u



3




=


1




{\displaystyle u^{3}=1}


. Die durch die Darstellung erzeugte multiplikative Gruppe





τ



(



C



3




)


=


{


1


,


u


,



u



2




}




{\displaystyle \tau (C_{3})=\{1,u,u^{2}\}}


ist isomorph zur dargestellten Gruppe






C



3






{\displaystyle C_{3}}


.

Eine solche Isomorphie liegt ebenfalls vor bei der treuen linearen Darstellung vom Grad 2, die gegeben ist durch

Diese Darstellung ist äquivalent zu einer Darstellung durch die folgenden Matrizen:

Die Darstellungen





ρ





{\displaystyle \rho }


und






ρ












{\displaystyle \rho ^{\prime }}


sind reduzibel: Sie bestehen aus der direkten Summe der zuvor beschriebenen Darstellung





g







u



g






{\displaystyle g\to u^{g}}


und der untreuen Darstellung





g






1




{\displaystyle g\to 1}


.

Eine reelle Darstellung dieser Gruppe erhält man, indem man der





1




{\displaystyle 1}


die Drehung der reellen Ebene um 120 Grad zuordnet. Diese Darstellung ist über den reellen Zahlen irreduzibel. Lässt man die





1




{\displaystyle 1}


entsprechend als 120-Grad-Drehung auf der komplexen Ebene







C




2






{\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}


operieren, so erhält man eine reduzible Darstellung, die zu der oben betrachteten Darstellung





ρ





{\displaystyle \rho }


isomorph ist.

Der Charakter der endlichdimensionalen Darstellung





ρ



:



G






GL






(


V


)




{\displaystyle \rho \colon G\to \operatorname {GL} (V)}


ist die Funktion






χ




ρ





:



G






K




{\displaystyle \chi _{\rho }\colon G\to K}


, die durch

definiert ist. Dabei sind






ρ




j


j






{\displaystyle \rho _{jj}}


die Matrixelemente in einer beliebigen (aber festen) Basis von





V




{\displaystyle V}


. Die Spur





tr




{\displaystyle \operatorname {tr} }


ist basisunabhängig.

Mithilfe von Charakteren lässt sich überprüfen, ob eine Darstellung irreduzibel ist: Eine Darstellung einer endlichen Gruppe





G




{\displaystyle G}


über einem algebraisch abgeschlossenen Körper





K




{\displaystyle K}


der Charakteristik





0




{\displaystyle 0}


ist genau dann irreduzibel, wenn





(


χ



,


χ



)


=


1




{\displaystyle (\chi ,\chi )=1}


gilt. Hierbei ist das unitäre Skalarprodukt





(


u


,


v


)




{\displaystyle (u,v)}


zweier Funktionen





u


,


v


:



G






K




{\displaystyle u,v\colon G\to K}


definiert durch






(


u


,


v


)


=




1



|


G


|











g






G




u



(



g







1




)



v



(


g


)






{\displaystyle \textstyle (u,v)={\frac {1}{\left|G\right|}}\sum _{g\in G}u\left(g^{-1}\right)v\left(g\right)}


. (Im Falle





K


=



C





{\displaystyle K=\mathbb {C} }






u



(



g







1




)





{\displaystyle u\left(g^{-1}\right)}


auch durch








u



(


g


)




¯







{\displaystyle {\overline {u\left(g\right)}}}


ersetzen.)

Vollständig reduzible Darstellungen endlicher Gruppen zerfallen in irreduzible Darstellungen und können somit „ausreduziert“ werden. Dabei kann man die Darstellungen aus den Charakteren erschließen; man kann dazu die Charaktertafel einer Darstellung aufstellen und bestimmte Orthogonalitätsrelationen der mit den Zeilen- bzw. Spaltenvektoren dieser Tafeln gebildeten unitären Skalarprodukte ausnutzen.

Eine Anwendung des Konzepts des Ausreduzierens eines „Produkts“ (besser: Tensorprodukts) zweier nicht notwendig verschiedener Darstellungen derselben Gruppe ergibt die Clebsch-Gordan-Koeffizienten der Drehimpulsphysik, die in der Quantenmechanik wichtig sind.

Eine Abbildung zwischen zwei Darstellungen





(


ρ



,



V



ρ





)


,



(


π



,



V



π





)




{\displaystyle (\rho ,V_{\rho }),\,(\pi ,V_{\pi })}


derselben Gruppe





G




{\displaystyle G}


ist eine lineare Abbildung

sodass für alle





s






G




{\displaystyle s\in G}


gilt:





π



(


s


)






T


=


T






ρ



(


s


)


.




{\displaystyle \pi (s)\circ T=T\circ \rho (s).}



Eine solche Abbildung heißt auch





G








{\displaystyle G-}


lineare Abbildung. Man kann den Kern, das Bild und den Kokern von





T




{\displaystyle T}


standardmäßig definieren. Diese sind wieder





G








{\displaystyle G-}


Moduln und liefern damit über die Beziehung aus dem vorhergehenden Abschnitt wieder Darstellungen von





G


.




{\displaystyle G.}


Zwei Darstellungen





(


ρ



,



V



ρ





)


,


(


π



,



V



π





)




{\displaystyle (\rho ,V_{\rho }),(\pi ,V_{\pi })}


heißen äquivalent oder isomorph, falls es einen





G








{\displaystyle G-}


linearen Vektorraumisomorphismus zwischen den Darstellungsräumen gibt; d. h., falls es eine bijektive lineare Abbildung





T


:




V



ρ










V



π







{\displaystyle T\colon V_{\rho }\to V_{\pi }}


mit





T






ρ



(


s


)


=


π



(


s


)






T










s






G




{\displaystyle T\circ \rho (s)=\pi (s)\circ T\,\,\,\forall \,s\in G}


gibt. Insbesondere haben äquivalente Darstellungen den gleichen Grad.

Darstellungen können nach zwei Gesichtspunkten klassifiziert werden: (1) nach der Struktur der Zielmenge





W




{\displaystyle W}


, auf die die Darstellungen wirken; und (2) nach der Struktur der dargestellten Gruppe.

Eine mengentheoretische Darstellung ist ein Homomorphismus der darzustellenden Gruppe auf die Permutationsgruppe





Sym






(


M


)




{\displaystyle \operatorname {Sym} (M)}


einer beliebigen Menge





M




{\displaystyle M}


; siehe dazu auch den Satz von Cayley.

Eine lineare Darstellung ist durch ihre Dimension





n




{\displaystyle n}


und durch den Körper





K




{\displaystyle K}


charakterisiert. Neben den komplexen und reellen Zahlen kommen hier die endlichen und





p




{\displaystyle p}


-adischen Körper in Betracht.

Eine lineare Darstellung einer endlichen Gruppe über einem Körper der Charakteristik





p


>


0




{\displaystyle p>0}






p




{\displaystyle p}


ein Teiler der Gruppenordnung ist.

Darstellungen in Untergruppen der allgemeinen linearen Gruppe





GL






(


V


)




{\displaystyle \operatorname {GL} (V)}


zeichnen sich dadurch aus, dass sie gewisse Strukturen des Vektorraums





V




{\displaystyle V}


erhalten. Zum Beispiel erhält eine unitäre Darstellung, also eine Darstellung in die unitäre Gruppe





U






(


V


)




{\displaystyle \operatorname {U} (V)}


, das Skalarprodukt, siehe auch Hilbertraum-Darstellung.

Einfachster Fall ist die Darstellung einer endlichen Gruppe.

Viele Ergebnisse in der Darstellungstheorie endlicher Gruppen werden durch Mittelung über die Gruppe erzielt. Diese Ergebnisse können auf unendliche Gruppen übertragen werden, sofern die topologischen Voraussetzungen gegeben sind, um ein Integral zu definieren. Dies ist vermittels des Haar-Maßes in lokalkompakten Gruppen möglich. Die daraus resultierende Theorie spielt eine zentrale Rolle in der harmonischen Analyse. Die Pontrjagin-Dualität beschreibt diese Theorie im Spezialfall abelscher Gruppen als verallgemeinerte Fourier-Transformation.

Viele wichtige Lie-Gruppen sind kompakt, sodass die genannten Ergebnisse übertragbar sind. Die Darstellungstheorie ist von entscheidender Bedeutung für die Anwendungen dieser Lie-Gruppen in Physik und Chemie.

Für nicht-kompakte Gruppen gibt es keine abgeschlossene Darstellungstheorie. Eine umfassende Theorie ist für halb-einfache Lie-Gruppen ausgearbeitet worden. Für die komplementären auflösbaren Lie-Gruppen gibt es keine vergleichbare Klassifikation.

Donjek River

Donjek River an seiner Quelle, dem Donjek-Gletscher

Der Donjek River ist ein Fluss im kanadischen Yukon, der vom Donjek-Gletscher gespeist wird und in den White River mündet.

Der Donjek River entspringt in der Donjek Range. Der Fluss fließt in überwiegend nördlicher Richtung. Der Kluane-Gletscher und der Donjek-Gletscher speisen den Oberlauf des Donjek River. Über den Steele Creek erhält der Fluss zusätzlich noch Wasser vom Steele-Gletscher custom football tops. Der Alaska Highway (Yukon Highway 1) überquert den Fluss hooped football socks, kurz nachdem er die Eliaskette verlassen hat, auf der einzigen Brücke über den Fluss. Im Mittellauf mündet der Kluane River, der den Kluane Lake entwässert, rechtsseitig in den Donjek River. Der Fluss setzt seinen Kurs nach Norden fort. Im Unterlauf treffen Nisling River und Klotassin River von rechts auf den Donjek River. Dieser wendet sich kurz vor seiner Mündung in den White River nach Westen. Der Donjek River hat eine Länge von etwa 270&nbsp running belt india;km. Der Oberlauf des Donjek River liegt innerhalb der Kluane National Park and Reserve of Canada.