Cosinussetningen

Historie

Anvendelser

Hypotenus

Funksjoner

Inverse funksjoner

Identiteter

Eksakte konstanter

Trigonometriske tabeller

Sinussetningen

Cosinussetningen

Tangenssetningen

Pythagoras’ læresetning

Integraler av funksjoner

Deriverte av funksjoner

Integraler av inverse funksjoner

I trigonometrien er cosinussetningen en setning om sammenhengen mellom sidene i en generell trekant og cosinus til en av vinklene i trekanten. Ved å bruke notasjonen i figur 1, sier cosinussetningen at

der c er den motstående siden til vinkel γ, og a og b er sidene som danner vinkel γ.

Cosinussetningen generaliserer Pythagoras’ læresetning, som bare gjelder for rettvinklede trekanter: hvis vinkel γ er en rett vinkel (90 grader eller π/2 radianer) best uniforms college football, blir cosγ = 0, og da reduseres cosinussetningen til

som er Pythagoras’ læresetning.

Cosinussetningen er nyttig for å regne ut den tredje siden i en trekant når to sider og den mellomliggende vinkelen er kjent, og for å regne ut vinklene i en trekant når alle tre sidene er kjent.

Setningen brukes i triangulering for å regne ut sider og vinkler i trekanter. Cosinussetningen kan brukes for å finne (se figur 2)

Disse formlene gir høye avrundingsfeil i flyttallsberegninger hvis trekanten er meget spiss, det vil si hvis c er liten i forhold til a og b eller γ er liten sammenlignet med 1.

Den tredje formelen vist over er løsningen av andregradsligningen a2 − 2ab cosγ + b2 − c2 = 0 med hensyn på a. Denne ligningen kan ha 2, 1 eller ingen positive løsninger; antallet positive løsninger svarer til antall mulige trekanter som passer til betingelsene. Den vil ha to positive løsninger hvis b sinγ < c < b, bare en positiv løsning hvis c > b eller c = b sinγ, og ingen løsning hvis c < b sinγ.

La sidene være representert ved vektorene a, b og c=a-b. Da har vi at

Betrakt en trekant med sider a, b, c, der





θ





{\displaystyle \theta }


er den motstående vinkelen til side c. Vi kan plassere denne trekanten i et koordinatsystem ved å plotte





A


(


b


cos






θ



,


 


b


sin






θ



)


,


 


B


(


a


,


0


)


,


 



and



 


C


(


0


,


0


)


.




{\displaystyle A(b\cos \theta ,\ b\sin \theta ),\ B(a,0),\ {\text{and}}\ C(0,0).}


Ved å bruke avstandsformelen har vi





c


=




(


b


cos






θ







a



)



2




+


(


b


sin






θ







0



)



2








{\displaystyle c={\sqrt {(b\cos \theta -a)^{2}+(b\sin \theta -0)^{2}}}}


. Nå arbeider vi bare videre med denne ligningen.

En fordel med dette beviset er at man ikke behøver å ta i betraktning forskjellige tilfeller ut fra om trekanten er spiss eller stump.

Tegn høyden på side c; vi får (se figur 3)

(Dette er fortsatt sant hvis α eller β er stump; i et slikt tilfelle faller høyden utenfor trekanten.) Multipliser hvert ledd med c:

Ved å betrakte de andre høydene får vi

Ved å legge sammen de to siste ligningene får vi

Ved å trekke den første ligningen fra den siste får vi

som kan forenkles til

Mange bevis behandler tilfellene med stump og spiss vinkel γ separat.

Den utvidede cosinussetningen kan brukes til å finne den siste siden i en firkant hvor man kjenner 3 sider og vinklene mellom dem.









D


C







=




A



D



2




+





A



B



2




+


B



C



2








2






A


B






B


C






cos






(


b


)





2








2






A


D








A



B



2




+


B



C



2








2






A


B






B


C






cos






(


b


)








cos






(


a







sin







1








(





sin






(


b


)






B


C




A



B



2




+


B



C



2








2






A


B






B


C






cos






(


b


)





)










{\displaystyle {\begin{aligned}DC&{}={\sqrt {AD^{2}+{\sqrt {AB^{2}+BC^{2}-2\cdot AB\cdot BC\cdot \cos(b)}}^{2}-2\cdot AD\cdot {\sqrt {AB^{2}+BC^{2}-2\cdot AB\cdot BC\cdot \cos(b)}}\cdot \cos(a-\sin ^{-1}({\frac {\sin(b)\cdot BC}{\sqrt {AB^{2}+BC^{2}-2\cdot AB\cdot BC\cdot \cos(b)}}})}}\\\end{aligned}}}


Som kan forkortes til:









D


C







=




A



D



2




+


A



C



2








2






A


D






A


C






cos






(


a







sin







1





< what tenderizes steak!– ⁡ –>


(





sin






(


b


)






B


C




A


C





)










{\displaystyle {\begin{aligned}DC&{}={\sqrt {AD^{2}+AC^{2}-2\cdot AD\cdot AC\cdot \cos(a-\sin ^{-1}({\frac {\sin(b)\cdot BC}{AC}})}}\\\end{aligned}}}